Teoria dei numeri - I numeri primi
1 è un numero primo?
La caccia ai numeri primi

Perché è conveniente
escludere 1 dai numeri primi.
Fattorizzazione di un numero composto
considerando 1 come numero primo.
75 = 1 * 3 * 5^2
75 = 1^2 * 3 * 5^2
75 = 1^3 * 3 * 5^2
...
ci sono infinite fattorizzazioni!
escludendo 1 dai numeri primi.
75 = 3 * 5^2
la fattorizzazione è unica.
Funzione di Eulero
considerando 1 come numero primo:
                1        1        1
Φ(15) = 15(1 - ---)(1 - ---)(1 - ---) = 0
                1        3        5

la funzione di Eulero si annulla!
escludendo 1 dai numeri primi:
                1        1
Φ(15) = 15(1 - ---)(1 - ---) = 8
                3        5

la funzione di Eulero dà il risultato corretto: 8. Infatti sono otto i numeri minori di 15 e primi con 15: (1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14). Curiosamente in questa lista compare anche il numero 1.
Il numero 1 è un numero primo o no?
In base alla definizione elementare di numero primo riportata da alcuni testi e dizionari (un numero che ha come fattori solo 1 e se stesso) 1 sarebbe indiscutibilmente primo.
D'altra parte sui manuali di teoria dei numeri la definizione di numero primo viene leggermente modificata; p.es. il Carmichael (1 pag.4) dà le seguenti definizioni:

Numero primo: Un numero intero p diverso da 1 si dice primo assoluto o semplicemente primo quando non ammette altri divisori che 1 e se stesso.

Numero composto: Un numero si dice composto quando ammette almeno un divisore diverso da 1 e da se stesso.

Il numero 1 non rientra in nessuna di queste due definizioni e viene quindi a formare un caso a sè stante.
Perché questa strana esclusione del numero 1?
Il fatto è che in molti casi e applicazioni è conveniente escludere 1 dalla lista di numeri primi. Vediamo un paio di esempi.
  1. Fattorizzazione di un numero intero positivo; nella tabella a destra si vede bene che considerando 1 come numero primo la fattorizzazione di un numero non è più unica, ma anzi esistono un'infinità di fattorizzazioni possibili. Si potrebbe ovviamente modificare la definizione di fattorizzazione escludendo esplicitamente il numero 1, ma è più semplice escludere in partenza 1 dalla lista dei numeri primi.
  2. Un caso un po' paradossale è quello della funzione di Eulero Φ(N) illustrato nella tabella a destra in basso. Nel calcolo della funzione è conveniente escludere 1 dai primi. Il risultato della funzione però comprende anche 1 tra i numeri minori di N e primi con N! D'altra parte qui si parla di numeri primi relativi e dunque si ricade in una differente definizione.
La distinzione può anche basarsi sul numero di fattori; allora i numeri interi positivi vengono a essere divisi in tre classi:
  1. Un solo fattore: il numero 1.
  2. Due fattori (uno e se stesso): i numeri primi.
  3. Più di due fattori: i numeri composti.


Valido HTML 4.01!

Fonti bibliografiche e collegamenti