I sottogruppi

Tavola del gruppo Z* Φ(12) = 4
	1	5	7	11
1	1	5	7	11
5	5	1	11	7
7	7	11	1	5
11	11	7	5	1

Tavola del sottogruppo Z* Φ(6) = 2
	1	5
1	1	5
5	5	1

Dato un gruppo G < A o > si dice sottogruppo di G un gruppo < B o > dove B è sottoinsieme di A e o è la stessa operazione.

Si noti che la condizione che B sia sottoinsieme di A non è sufficiente a garantire che si tratti di un sottogruppo; occorre anche che < B o > sia un gruppo e cioè che siano soddisfatte le quattro condizioni che definiscono il concetto di gruppo.

Nell'esempio a lato il gruppo moltiplicativo < Z₁₂ * > ammette come sottogruppo < Z₆ * >.

Come controesempio si consideri l'insieme B = {1, 5, 7}; la struttura < B * > non è un gruppo, infatti viene meno la condizione di chiusura là dove risulta 5 * 7 = 11.

Una volta definito un sottogruppo è possibile definire le classi laterali del sottogruppo.

Per i sottogruppi vale il teorema di Lagrange che asserisce che l'ordine di un gruppo è sempre un multiplo dell'ordine di un suo qualsiasi sottogruppo.

Esempio

Tavola del gruppo Z₇*
	1	6	2	5	3	4
1	1	6	2	5	3	4
6	6	1	5	2	4	3
2	2	5	4	3	6	1
5	5	2	3	4	1	6
3	3	4	6	1	2	5
4	4	3	1	6	5	2

Consideriamo il gruppo moltiplicativo < Z₇, * >. 7 è un numero primo quindi Φ(7) = 6 e il gruppo è rappresentato dalla tavola a destra.

Si riconosce che < {1, 6}, * > è un sottogruppo di Z₇; infatti sono banalmente verificate le tre proprietà fondamentali dei gruppi:

Esiste l'elemento neutro in questo caso 1.
Ogni elemento ammette elemento inverso; qui ogni elemento è inverso di se stesso: l'inverso di 1 è ovviamente 1, e l'inverso di 6 è 6 poichè 6 * 6 = 36 = 1 mod 7.
Vale banalmente la proprietà associativa.

Si osserva poi che ci sono due classi laterali di tale sottogruppo: < {2, 5}, * > e < {3, 4}, * >.