| Tavola del gruppo Z* Φ(12) = 4 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 7 | 11
| |
| 1 | 1 | 5 | 7 | 11 |
| 5 | 5 | 1 | 11 | 7 |
| 7 | 7 | 11 | 1 | 5 |
| 11 | 11 | 7 | 5 | 1 |
Dato un gruppo G < A * > e un suo sottogruppo S < B * > si definisce classe laterale sinistra di S l'insieme degli elementi x*b, dove b è un elemento di B.
Analogamente si definisce classe laterale destra di S l'insieme degli elementi b*x, dove b è sempre un elemento di B.
Nell'esempio a lato il gruppo moltiplicativo Z12 con elementi {1, 5, 7, 11} ammette il sottogruppo S = {1, 5}; moltiplicando 1 e 5 per 7 si ottiene la classe laterale sinistra {7, 11}, infatti 1*7 (mod 12) = 7; 5*7 (mod 12) = 11.
Moltiplicando 1 e 5 per 11, si ottiene la stessa classe laterale sinistra {7, 11}; dunque S*7 coincide con S*11; moltiplicando {1, 5} per 1 (o per 5) si ottiene S stesso.
Il gruppo Z12 è commutativo e quindi la classe laterale sinistra coincide con quella destra. In un gruppo non commutativo classi laterali destre e sinistre saranno distinte.
Le classi laterali sono sempre disgiunte; detto in altri termini vale la seguente proprietà del tipo "o tutto o niente":
Se due classi laterali sinistre (o destre) hanno un elemento in comune allora hanno tutti gli elementi in comune,
Questa proprietà è essenziale per la dimostrazione del teorema di Lagrange.
Se le classi laterali destre e sinistre di un sottogruppo coincidono, il sottogruppo si dice normale.
Nel caso sopra il sottogruppo è normale.
Ovviamente se un gruppo è abeliano (e cioè commutativo) tutti i suoi sottogruppi sono normali.
| Tavola del gruppo Z7* | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 2 | 5 | 3 | 4
| |
| 1 | 1 | 6 | 2 | 5 | 3 | 4 |
| 6 | 6 | 1 | 5 | 2 | 4 | 3 |
| 2 | 2 | 5 | 4 | 3 | 6 | 1 |
| 5 | 5 | 2 | 3 | 4 | 1 | 6 |
| 3 | 3 | 4 | 6 | 1 | 2 | 5 |
| 4 | 4 | 3 | 1 | 6 | 5 | 2 |
Consideriamo ancora il gruppo moltiplicativo < Z7, * >. 7 visto nella pagina dei sottogruppi.
Si è visto in quella pagina che S = < {1, 6}, * > è un sottogruppo di Z7, e che ammette le classi laterali < {2, 5}, * > e < {3, 4}, * >.
La prima classe laterale A = {2, 5} è A = 2.S; infatti 2 = 2.1 mod 7 e 5 2.6 mod 7 (12 mod 7 = 5).
La seconda classe laterale B = {3, 4} è B = 3.S; infatti 3 = 3.1 mod 7 e 4 3.6 mod 7 (18 mod 7 = 4).
Osservando la tavola del gruppo si nota una struttura dentro il gruppo; le tre classi S, A, B costituiscono a loro volta un gruppo: S è l'elemento neutro, A e B sono l'uno l'inverso dell'altro.