L'ordine di un elemento di un gruppo

Definizione

Dato un gruppo G e un suo elemento e si definisce ordine di e, e si scrive ord(e), il minimo numero intero i per il quale è eⁱ = I (dove I è l'elemento neutro di G).

Esempio

Tavola del gruppo Z* Φ(5) = 4
	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

Consideriamo il gruppo moltiplicativo Z₅, la cui tavola di moltiplicazione è riportata a lato.

L'elemento 1 ha ovviamente ordine 1.
L'elemento 2 ha ordine 4, infatti 2⁴ = 16 (mod 5) = 1.
L'elemento 3 ha ordine 4, infatti 3⁴ = 81 (mod 5) = 1.
L'elemento 4 ha ordine 2, infatti 4² = 16 (mod 5) = 1.

Corollario del teorema di Lagrange

Se G è un gruppo di ordine finito N, allora l'ordine di un qualsiasi suo elemento e è un divisore di N.

Dimostrazione

Consideriamo la sequenza delle successive potenze di e:

e¹, e², e³ ... e^ord(e) = 1

È facile convincersi che tali elementi costituiscono un sottogruppo di G; infatti:

gli elementi della sequenza sono tutti distinti; se per assurdo vi fossero due elementi uguali e^r = e^s si avrebbe e^r-s = 1 e quindi r-s < ord(e) sarebbe l'ordine di e, contro l'ipotesi.
Chiusura: e^r * e^s (mod N) = e ^r+s (mod N); se r+s è minore di ord(e) la cosa è ovvia, se r+s = ord(e) il risultato è 1, se r+s > ord(e) si riottengono ciclicamente sempre gli stessi elementi.
Proprietà associativa: ovvia trattandosi di una moltiplicazione.
Elemento neutro: è ovviamente 1.
Elemento inverso: l'inverso di e^r è ovviamente e^ord(e)-r.

Questo sottogruppo ha ordine ord(e) e quindi in base al teorema di Lagrange ord(e) è un divisore di N.