Analogamente al gruppo additivo $< Z + >$ è possibile definire un gruppo moltiplicativo $< Z * >$ costituito da un insieme di numeri interi positivi minori di $N$ e maggiori di 0 e dall'operazione di prodotto modulare, che indico con il simbolo $\otimes$:
$$ a \otimes b = a \times b \pmod N $$
Usando la tavola di moltiplicazione dinamica completa a destra è facile convincersi che la moltiplicazione modulare non dà sempre luogo a un gruppo; infatti per un ordine N che non sia un numero primo, viene meno la legge di annullamento del prodotto, e con questa cadono anche le proprietà di chiusura e dell'elemento inverso. P.es. per N = 8, si ha $2 \otimes 4 = 8 \pmod 8 = 0$, e cade la legge di annullamento del prodotto insieme alla chiusura (0 non appartiene all'insieme). Inoltre i numeri non primi con 8, quelli pari p.es. 4 non hanno un elemento inverso, e ciè un numero $ 4^{-1}$ tale che $ 4 \otimes 4^{-1} = 1$. In generale si verifica che i numeri che creano problemi sono i numeri non primi con N.
In un certo senso viene meno anche la proprietà associativa; p.es. il prodotto $2 \otimes 4 \otimes 3$ se calcolato come $(2 \otimes 4) \otimes 3 = 0 \otimes 3$ che è qui operazione impossibile non essendo 0 un elemento dell'insieme e non essendoci una riga e una colonna dello zero nella tavola, mentre calcolato come $2 \otimes (4 \otimes 3)$ dà $2 \otimes 4$ che ha ancora due fattori possibili (ovviamente proseguendo il calcolo il risultato finale è comunque zero).
Per avere un gruppo ci sono due possibilità:
Usando le tabelle dinamiche a lato è possibile generare la tavola dei gruppi moltiplicativi per N < 40.
N.B. Si intende che la tavola del gruppo è quella a sinistra. La tavola di destra serve solo da controesempio. Ovviamente le due tavole sono identiche solo nel caso che N sia primo.
In definitiva l'ordine del gruppo moltiplicativo altro non è che la funzione di Eulero di N, Φ(N).
