L'algebra tradizionale, quella che si studia nelle scuole medie e superiori, ha come oggetti i numeri (naturali, relativi, reali ...), le operazioni tra numeri, le proprietà di queste operazioni, la manipolazione e trasformazione di espressioni algebriche. Gli studenti delle scuole medie imparano che l'addizione gode della proprietà associativa [(A+B)+C = A +(B+C)] e di quella commutativa [A+B = B+A], che (A - B)(A + B) = A2 - B2 ecc.ecc.
I matematici si sono però resi conto che esistono altre strutture, i cui oggetti non sono necessariamente numeri, ma che sono simili all'algebra nel senso che hanno operazioni, proprietà proprio come l'algebra ordinaria. Alcuni esempi:
L'algebra delle stringhe, intese come sequenze di caratteri, per esempio 'casa', 'strada', 'bianca', '' (stringa vuota) ... È possibile definire un'operazione detta concatenazione tra stringhe, per esempio 'casa' + 'bianca' = 'casabianca'. È facile verificare che questa algebra gode della proprietà associativa ('casa' + 'bianca' + 'nera' = 'casabiancanera' comunque) ma non di quella commutativa ('casa'+'bianca' è diverso da 'bianca'+'casa').
L'algebra dei movimenti di un oggetto rettangolare, per esempio una diapositiva, su se stesso: (I) il rettangolo può restare dov'è (R) il rettangolo viene ruotato di 180º (V) il rettangolo viene ribaltato sulla sua verticale; (O) il rettangolo viene ribaltato orizzontalmente. Si definisce anche qui una concatenazione di movimenti, per esempio VO vuol dire ribaltamento verticale seguito da ribaltamento orizzontale. E si verifica facilmente che VO = R, RR = I ecc.ecc. Questa algebra è un esempio di quello che i matematici chiamano gruppo.
L'algebra dei movimenti di un triangolo rettangolo su se stesso; simile alla precedente; anche questo è un esempio di gruppo.
L'algebra delle permutazioni di n oggetti, per esempio le tre lettere 'a', 'b', 'c'; abbiamo la permutazione di partenza (a,b,c) e poi (a,c,b), (b,a,c) ...
Da un punto di vista astratto quest'algebra corrisponde a quella dei movimenti di un triangolo equilatero. L'operazione è quella di composizione delle permutazioni: per esempio (b,a,c)*(c,b,a) = (c,a,b). In crittografia un cifrario monoalfabetico è appunto una permutazione delle ventisei lettere dell'alfabeto internazionale ('a', 'b', 'c' ... 'z').
L'aritmetica delle ore dell'orologio: oggetti sono le ore da 0 a 23; operazione la somma ma anche la moltiplicazione. Che ore sono 15 ore dopo le 20? 15+20 =35; 35 -24 = 11. Sono le 11. Quello delle ore dell'orologio è solo un caso particolare di aritmetica finita.
L'algebra astratta studia le proprietà comuni a qualsiasi algebra e soprattutto alcune sottostrutture che hanno nomi che possono risultare fuorvianti per il profano: sottogruppi, ideali, filtri ... Ma nonostante l'attributo di astratta, questo ramo della matematica ha trovato applicazioni pratiche importanti e in particolare in crittografia.
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Pagina a cura di Paolo Bonavoglia (paolo@bonavoglia.eu) del